Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115412  (#06.4.9.1)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115413  (#06.4.9.2)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В треугольнике  ABC проведена биссектриса  BD (точка  D лежит на отрезке  AC ). Прямая  BD пересекает окружность  Ω , описанную около треугольника  ABC , в точках  B и  E . Окружность  ω , построенная на отрезке  DE как на диаметре, пересекает окружность  Ω в точках  E и  F . Докажите, что прямая, симметричная прямой  BF относительно прямой  BD , содержит медиану треугольника  ABC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115414  (#06.4.9.3)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115415  (#06.4.9.4)

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Четность и нечетность ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115416  (#06.4.9.5)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Системы алгебраических неравенств ] [ Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Числа a, b и c таковы, что  (a + b)(b + c)(c + a) = abc,  (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a³) = a³b³c³.  Докажите, что  abc = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями