Версия для печати
Убрать все задачи

---

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64364  (#11.6)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию   2(a + b + c + d) ≥ abcd.   Докажите, что  a² + b² + c² + d² ≥ abcd.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116937  (#9.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B₁ и B₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C₁ и C₂ соответственно. Описанные окружности треугольников BB₁B₂ и CC₁C₂ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116945  (#10.7)

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вневписанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116953  (#11.7)

Темы:   [ Разложение на множители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном  n > 100  число  20ⁿ + 13ⁿ  делится на k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64350  (#9.7)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Радикальная ось ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что  ∠ACS = ∠BCP.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями