Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116950  (#11.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В окружность Ω вписан остроугольный треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности Ω, соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что описанная окружность треугольника BMC делит пополам отрезок BP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64347  (#9.4)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Ломаные ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A₀A₁A₂...A_n, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64354  (#10.4)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что  ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64362  (#11.4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Степень вершины ] [ Индукция (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

На каждой из 2013 карточек написано по числу, все эти 2013 чисел различны. Карточки перевёрнуты числами вниз. За один ход разрешается указать на десять карточек, и в ответ сообщат одно из чисел, написанных на них (неизвестно, какое).
Для какого наибольшего t гарантированно удастся найти t карточек, про которые известно, какое число написано на каждой из них?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116935  (#9.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Ненулевые числа a и b таковы, что уравнение  a(x – a)² + b(x – b)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |a| = |b|.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями