Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60645 (#04.019)

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Ивлев Б.М.

В клетках квадратной таблицы 4×4 расставлены знаки + и – , как показано на рисунке.

Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, можно менять знак в любой угловой клетке). Докажите, что, сколько бы мы ни производили таких перемен знака, нам не удастся получить таблицу из одних плюсов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60646 (#04.020)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Инварианты	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В пробирке находятся марсианские амёбы трёх типов A, B и C. Две амёбы любых двух разных типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке оказалась одна амёба. Каков её тип, если исходно амёб типа A было 20 штук, типа B – 21 штука и типа C – 22 штуки?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60648 (#04.022)

[Код, исправляющий ошибку]

Темы:	[	Криптография	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Предположим, что требуется передать сообщение, состоящее из n² нулей и единиц. Запишем его в виде квадратной таблици n×n. Допишем к каждой строке сумму её элементов по модулю 2. Получится еще один столбец высоты n. Аналогично поступим с каждым столбцом (в том числе найдём и сумму элементов дописанного столбца). Например, если требуется передать сообщение 0111, то таблица 2×2 (рис. слева) окажется дополненной до таблицы 3×3 (рис. справа).

а) Докажите, что если при передаче расширенной таблицы (n+1)×(n+1) произойдёт одна ошибка, то эту ошибку можно будет найти и исправить.
б) Какое наименьшее число ошибок должно произойти, чтобы об этом нельзя было узнать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 30378 (#04.023)

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60650 (#04.024)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1255]