Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60661 (#04.035)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Назовём шестизначное число счастливым, если сумма его первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что сумма всех счастливых чисел делится на 13. (Числа, записываемые менее, чем шестью цифрами, в этой задаче также считаются шестизначными.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 60662 (#04.036)

Темы:	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что числа от 1 до 2001 включительно нельзя выписать подряд в некотором порядке так, чтобы полученное число было точным кубом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60663 (#04.037)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что 7^{7^{7^7⁷}} – 7^{7^7⁷} делится на 10.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60664 (#04.038)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Число x таково, что x² заканчивается на 001 (в десятичной системе счисления).
Найдите три последние цифры числа x (укажите все возможные варианты).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60665 (#04.039)

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9,10

Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырёх углов стопки. Может ли оказаться так, что
а) в каждом углу стопки сумма равна 2004?
б) в каждом углу стопки сумма равна 2005?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 1255]