Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 90]

Задача 61192 (#08.031)

[Радикальный центр трёх окружностей]

Тема:

[

Радикальная ось

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На плоскости даны три окружности S₁, S₂ и S₃. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S₁, S₂ и S₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61193 (#08.032)

[Ортоцентр реугольника]

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Геометрия комплексной плоскости	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Точки a₁, a₂ и a₃ расположены на единичной окружности zz = 1.
Докажите, что точка h = a₁ + a₂ + a₃ является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a₁, a₂ и a₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52511 (#08.033)

[Окружность девяти точек]

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 61195 (#08.034)

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
Темы:	[	Геометрия комплексной плоскости	]

Сложность: 2+
Классы: 10,11

Докажите, что точка m = ¹/₃ (a₁ + a₂ + a₃) является точкой пересечения медиан треугольника a₁a₂a₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55595 (#08.035)

[Прямая Эйлера]

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 90]