Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 819]

Задача 66977

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67101

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Плотников М., Хилько Д., Кожевников П.А.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67117

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кухарчук И.

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

Прислать комментарий Решение

Задача 64385

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Москвитин Н.А.

В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED – прямые, AB = AE и BC = CD = DE. Диагонали BD и CE пересекаются в точке F.
Докажите, что FA = AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64390

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Нилов Ф.

На отрезке AB построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка AB в точке T и пересекает α в точках C и D. Лучи AC и TD пересекаются в точке E, лучи BC и TC – в точке F. Докажите, что прямые EF и AB параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 819]