Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1949 год
>>
9,10 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный 45o . Найдите объём пирамиды.
Решение
Решение
На плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.
Решение
Решение
Через данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной окружностью, делился точкой A пополам.
Решение
На плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.
Решение
Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов. Решение
Убрать все задачи
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный 45o . Найдите объём пирамиды.
РешениеЧерез точку A , лежащую на окружности с центром O, проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BAC вдвое меньше угла BOC.
РешениеНа плоскости даны 2n + 3 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, а никакие четыре не лежат на одной окружности. Докажите, что из этих точек можно выбрать три точки так, что n из оставшихся точек лежат внутри окружности, проведенной через выбранные точки, а n — вне ее.
Решение
Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый
вектор, перпендикулярный трем данным?
РешениеЧерез данную точку A проведите прямую так, чтобы отрезок, заключенный между точками пересечения ее с данной прямой и данной окружностью, делился точкой A пополам.
РешениеНа плоскости дано конечное число точек. Докажите, что из них всегда можно выбрать точку, для которой ближайшими к ней являются не более трех данных точек.
РешениеДокажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре
разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя.
Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через
четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных
направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как
они могут при этом переставиться?
Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга
квадратов.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 77890 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 77892 |
|
|
Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.
|
|
|
Решение |
Задача 77896 |
|
|
Сложить из одинаковых кирпичиков (см. рис.) выпуклый многогранник.
|
|
|
Решение |
Задача 77897 |
|
В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.
|
|
|
Решение |
Задача 77899 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
