Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1961 год
>>
8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.
Решение
Убрать все задачи
Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая ab, bc, cd, da по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно
один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины
не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.
С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами
r1, r2, r3, r4, причём
r1 + r3 = r2 + r4 < d; d — диагональ
прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и
2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми,
можно вписать окружность.
Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно
найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.
Дана четвёрка ненулевых чисел a, b, c, d. Из неё получается новая
ab, bc, cd, da по
следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на
первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д.
Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится
вновь четверка a, b, c, d, кроме случая, когда a = b = c = d = 1.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78261 (#1) |
|
|
Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.).
|
|
Решение |
Задача 78262 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78258 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78259 (#4) |
|
|
Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.
|
|
|
Решение |
Задача 78263 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
