Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79336 (#1)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

Прислать комментарий Решение

Задача 79337 (#2)

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Куб	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Куб 3×3×3 составлен из 14 белых и 13 чёрных кубиков со стороной 1. Столбик – это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления: ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике
а) нечётное количество белых кубиков?
б) нечётное количество чёрных кубиков?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79338 (#3)

Темы:	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел a, b, c, для которых выполняется равенство a¹⁵ + b¹⁵ = c¹⁶.

Прислать комментарий Решение

Задача 79341 (#4)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Средние величины	]

Сложность: 4
Классы: 9

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79340 (#5)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]