Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 363]

Задача 32011

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое), после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель единственный)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32028

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число m + 6 тоже хорошее, а если число n плохое, то и число n + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32032

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32039

Темы:	[	Обходы многогранников	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Куб	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

У куба отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней.
Можно ли по отрезкам этих диагоналей обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно один раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32071

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ – последовательные стороны шестиугольника, все углы которого равны. Докажите, что a₁ – a₄ = a₃ – a₆ = a₅ – a₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 363]