Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64519

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: ¹/₂₀₀₉ и ¹/₂₀₀₈. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64580

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На стороне CD ромба ABCD нашлась такая точка K, что  AD = BK.  Пусть F – точка пересечения диагонали BD и серединного перпендикуляра к стороне BC. Докажите, что точки A, F и K лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64588

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64595

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении  3 : 4.  Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64596

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – a, на десяти других – b, и на десяти оставшихся – c (числа a, b, c все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел a, b, c равно нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями