Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64646

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На переправу через пролив Босфор выстроилась очередь: первый Али-Баба, за ним 40 разбойников. Лодка одна, в ней могут плыть двое или трое (в одиночку плыть нельзя). Среди плывущих в лодке не должно быть людей, которые не дружат между собой. Смогут ли все они переправиться, если каждые двое рядом стоящих в очереди – друзья, а Али-Баба ещё дружит с разбойником, стоящим через одного от него?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64648

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Теорема синусов ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. На сторонах AD и CD отмечены соответственно точки M и N так, что углы ABN и CBM прямые. Докажите, что прямые AC и MN параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64649

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Натуральные числа a, b, c, d попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству  ab + cd = ac – 10bd.
Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64650

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Задачи на движение ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пешеход Петя выходит из вершины A, идёт по стороне AB и далее по контуру четырёхугольника. Пешеход Вася выходит из вершины A одновременно с Петей, идёт по диагонали AC и одновременно с Петей приходит в C. Пешеход Толя выходит из вершины B в тот момент, когда её проходит Петя, идёт по диагонали BD и одновременно с Петей приходит в D. Скорости пешеходов постоянны.
Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей O одновременно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64652

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На клетчатой доске 5×5 Петя отмечает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки неперекрывающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток (уголки разрешается класть только "по клеточкам"). Какое наименьшее число клеток должен отметить Петя, чтобы Вася не смог выиграть?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями