ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109835  (#05.5.9.6)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Сколькими способами числа 20, 21, 2², ..., 22005 можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108225  (#05.5.9.7)

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109837  (#05.5.9.8)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят 100 представителей 50 стран, по двое от каждой страны. Докажите, что их можно разбить на две группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и каждый человек находился в одной группе не более чем с одним своим соседом.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109823  (#05.5.10.1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   ,   где a, b, c, d – натуральные числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109824  (#05.5.10.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  n+1/4.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .