Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 819]

Задача 66231

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Штейнгарц Л.

В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A₁, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B₁. Пусть M – середина отрезка A₁B₁, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A₁B₁N – равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66232

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Ясинский В.

Дан треугольник ABC. Две окружности, проходящие через вершину A, касаются стороны BC в точках B и C соответственно. Пусть D – вторая точка пересечения этих окружностей (A лежит ближе к BC, чем D). Известно, что BC = 2BD. Докажите, что ∠DAB = 2∠ADB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66237

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66242

Темы:	[	Длины сторон (неравенства)	]
Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что p(1 – 2Rr) ≥ 1, где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66252

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Блинков Ю.А.

В треугольнике ABC высота AH делит медиану BM пополам.
Докажите, что из медиан треугольника ABM можно составить прямоугольный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 819]