Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66018 (#10.1)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66019 (#10.2)

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Окружность с центром I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на описанной окружности ω треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66020 (#10.3)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66021 (#10.4)

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Раскраски	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n₁, n₂, ..., n_k и отдельно сообщит значение выражения P(n₁)P(n₂)...P(n_k). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66022 (#10.5)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Подлипский О.К.

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]