Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 2247]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78543

Темы:   [ Теорема Птолемея ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115402

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A₁ и C₁ соответственно. Отрезки AC₁ и CA₁ пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников  AA₁P и CC₁P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника  ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55464

Темы:   [ Теорема Птолемея ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Пусть A₁A₂...A_n – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A₁A_n окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64343

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Трапеция ABCD вписана в окружность w  (AD || BC).  Окружности, вписанные в треугольники ABC и ABD, касаются оснований трапеции BC и AD в точках P и Q соответственно. Точки X и Y – середины дуг BC и AD окружности w, не содержащих точек A и B соответственно. Докажите, что прямые XP и YQ пересекаются на окружности w.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64354

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что  ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 168 169 170 171 172 173 174 >> [Всего задач: 2247]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями