Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 507]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков –
различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
При каком наименьшем
n существует
n -угольник,
который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ...,
2006-угольник?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Покажите, как разрезать фигуру, изображенную на верхнем рисунке, на три равные части и сложить из этих частей правильный шестиугольник, изображенный на нижнем рисунке. Оставлять дырки и накладывать части друг на друга нельзя.
Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 507]
Фильтр
