ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 201]      



Задача 73702

Темы:   [ Теорема Эйлера ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Пойа Дж.

В любой арифметической прогрессии  a,  a + d,  a + 2d,  ...,  a + nd,  ...,  составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107824

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109485

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67023

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109854

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа,  a1 < a2 < ... < a10.  Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что  a10 > 500.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 201]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .