Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

   Решение

Функция F задана на всей вещественной оси, причём для любого x имеет место равенство:  F(x + 1)F(x) + F(x + 1) + 1 = 0.
Докажите, что функция F не может быть непрерывной.

   Решение

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

   Решение

Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$

   Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 374]      

На стороне BC треугольника ABC выбрана произвольная точка D . В треугольники ABD и ACD вписаны окружности с центрами K и L соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников BKD и CLD вторично пересекаются на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точка D лежит на биссектрисе угла ACB. На луче CA выбрали точки A₁ и A₂, а на луче CB – точки B₁ и B₂, причём четыре точки A₁, C, B₁, D лежат на одной окружности, а четыре точки A₂, C, B₂, D лежат на другой окружности. Докажите, что  A₁A₂ = B₁B₂.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $DC = m$, $DA = n$. На стороне $BA$ взяты точки $A_1$ и $K$, а на стороне $BC$ – точки $C_1$ и $M$. Известно, что $BA_1 = a$, $BC_1 = c$, $BK = BM$ и что отрезки $A_1M$ и $C_1K$ пересекаются на диагонали $BD$. Найдите $BK$ и $BM$.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD угол BAD равен 60^o, а меньшее основание BC равно 5. Найдите длину боковой стороны CD, если площадь трапеции равна ( AD ^. BC + AB ^. CD)/2.

Прислать комментарий

Решение

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 374]