Версия для печати
Убрать все задачи

---

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

   Решение

---

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.

   Решение

---

Из картона вырезали два многоугольника. Может ли быть, что при любом их расположении на плоскости они либо имеют общие внутренние точки, либо пересекаются по конечному множеству точек?

   Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 375]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109853

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Гомотетичные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а также пересекает сторону BC. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109855

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Неравенства с углами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что  AP = CQ  и четырёхугольник RPBQ– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что  RX = RY.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115904

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115996

Тема:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Биссектрисы углов В и С пересекаются в точке, лежащей на отрезке AD.
Найдите AD, если  АВ = 5,  СD = 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116019

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD:  ∠ВАС = 20°,  ∠ВСА = 35°,  ∠ВDС = 40°,  ∠ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 375]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями