В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке Q. Отрезок, соединяющий вершину C с серединой отрезка AD, равен 3. Расстояние от точки Q до отрезка BC равно 1, сторона AD равна 2. Найдите AQ.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проводится прямая, пересекающая вторично окружности в точках C и D, а затем через точки C и D проводятся касательные к этим окружностям. Докажите, что точки A, C, D и точка P пересечения касательных лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 501]      

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Через вершины B и C проведены параллельные прямые b и c, равноудалённые от вершины A. На прямых b и c выбраны соответственно такие точки M и N, что отрезки LM и LN пересекаются со сторонами соответственно AB и AC и делятся ими пополам.
Докажите, что  LM = LN.

Прислать комментарий

Решение

Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего n-угольника с его вершинами, делят n-угольник на n равных треугольников.
При каком наименьшем n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

В круге проведены два диаметра AB и CD, M — некоторая точка. Известно, что AM = 15, BM = 20, CM = 24. Найдите DM.

Прислать комментарий

Решение

Дана линейка с параллельными краями и без делений. Постройте центр окружности, некоторая дуга которой дана на чертеже.

Прислать комментарий

Решение

Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ, DKL (EF, GH, IJ, KL — дуги окружности). Докажите, что

а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;

б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 67 68 69 70 71 72 73 >> [Всего задач: 501]