Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]

Задача 64978

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116394

Темы:	[	Многоугольники (прочее)	]
	[	Кривые второго порядка	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Общие четырехугольники	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе y = x², если
а) N = 2011;
б) N = 2012?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116774

Темы:	[	Пирамида (прочее)	]
	[	Свойства разверток	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Пак И.

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого i = 1, 2, ..., n в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем A_n+1 = A₁). Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64749

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35575

Темы:	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]