Каталог по темам

Задачи

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1024]

Задача 66709

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 36998

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке P. Точки X и Y — ортогональные проекции точки P на прямые AC и BC. Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108990

Темы:	[	Треугольник (построения)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Построения с помощью вычислений	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На основании BC треугольника ABC найти точку M так, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABM и AMC взаимно касались.

Прислать комментарий Решение

Задача 110791

Темы:	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 111718

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Дан треугольник ABC . Вневписанная окружность касается его стороны BC в точке A₁ и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны AC в точке B₁ . Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке N . На луче AA₁ отметили точку P , такую что AP=NA₁ . Докажите, что точка P лежит на вписанной в треугольник окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1024]