Каталог по темам

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 288]

Задача 111789

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Шахматная раскраска	]
	[	Инварианты	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4-
Классы: 8

Автор: Богданов И.И.

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116635

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Гарбер А.

У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?

Прислать комментарий

Решение

Задача 35024

Темы:	[	Перестановки и подстановки	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты и полуинварианты	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65409

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Инварианты	]
	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Имеется бильярдный стол в виде многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого все углы составляют целое число градусов, а угол A – в точности 1°. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шар проваливается. Из вершины A вылетает точечный шар и движется внутри многоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65795

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Френкин Б.Р.

В некотором выпуклом n-угольнике (n > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 288]