Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 54]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [am] отлично от [bn] при любых натуральных числах m и n?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность
(
an)
задана условиями
a1= 1000000
,
an+1
=n[
]
+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Преподаватель выставил оценки по шкале от 0 до 100. В учебной части могут менять верхнюю границу шкалы на любое другое натуральное число, пересчитывая оценки пропорционально и округляя до целых. Нецелое число при округлении меняется до ближайшего целого; если дробная часть равна 0,5, направление округления учебная часть может выбирать любое, отдельно для каждой оценки. (Например, оценка 37 по шкале 100 после пересчета в шкалу 40 перейдёт в 37·40/100 = 14,8 и будет округлена до 15.)
Студенты Петя и Вася получили оценки a и b, отличные от 0 и 100. Докажите, что учебная часть может сделать несколько пересчётов так, чтобы у Пети стала оценка b, а у Васи – оценка a (пересчитываются одновременно обе оценки).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В бесконечной последовательности (xn) первый член x1 – рациональное число, большее 1, и xn+1 = xn + 1/[xn] при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (
x1,
x2,...,
xn)
-- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается
спрашивать, чему равна сумма
a1x1 + ... +
anxn, где
(
a1...
an)
-- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий
узнает задуманный набор?
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 54]
Тема:
Все темы
>>
Математический анализ
>>
Действительные числа
>>
Целая и дробная части. Принцип Архимеда
Решение 
