Каталог по темам

Задачи

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 1024]

Задача 109664

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Медников Л.Э., Евдокимов М.А.

Внутри параболы y = x² расположены несовпадающие окружности ω₁, ω₂, ω₃, ... так, что при каждом n > 1 окружность ω_n касается ветвей параболы и внешним образом окружности ω_n–1 (см. рис.). Найдите радиус окружности σ₁₉₉₈, если известно, что диаметр ω₁ равен 1 и она касается параболы в её вершине.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111619

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Окружность ω касается описанной окружности Ω треугольника ABC в точке A, пересекает сторону AB в точке K, а сторону BC – в точке M. Касательная CL к окружности ω такова, что отрезок KL пересекает сторону BC в точке T. Докажите, что отрезок BT равен по длине касательной, проведённой из точки B к ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115339

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пятиугольник ABCDE описан около окружности Ω. Сторона BC касается окружности s в точке K. Известно, что AB = BC = CD.
Докажите, что ∠EKB = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115615

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116952

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

Три попарно непересекающиеся окружности ω_x, ω_y, ω_z радиусов r_x, r_y, r_z лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ, r_x = r_z = r, а r_y > r. Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_x и ω_y, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ω_y и ω_z. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 1024]