Каталог по темам

Задачи

Страница: << 178 179 180 181 182 183 184 >> [Всего задач: 1024]

Задача 66976

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Dadgarnia A.

Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $AB$ и $CD$ – в точке $E$, $AD$ и $BC$ – в точке $F$. Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$. Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$.

Прислать комментарий Решение

Задача 55593

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Даны прямая l и точки A и B по одну сторону от нее. Пусть A₁ и B₁ — проекции этих точек на прямую l. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку M, чтобы угол AMA₁ был вдвое меньше угла BMB₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 108221

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 65235

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три окружности пересекаются в одной точке	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Точка Микеля	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Прокопенко Д.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66313

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 178 179 180 181 182 183 184 >> [Всего задач: 1024]