Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

   Решение

---

В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k  (2 ≤ k ≤ N)  при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2k – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

   Решение

---

Андрей ведёт машину со скоростью 60 км/ч. Он хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее. На сколько ему следует увеличить скорость?

   Решение

---

Дан треугольник АВС и две прямые l₁, l₂. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l₁, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l₂, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.

   Решение

---

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111926

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Через каждую вершину четырехугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.
a) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 72^o ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56788

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Неравенства с площадями ] [ Площадь трапеции ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56789

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Соображения непрерывности ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98226

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Соображения непрерывности ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Перестройки ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35236

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Соображения непрерывности ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями