Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 73]      

Некоторые стороны выпуклого многоугольника красные, остальные синие. Сумма длин красных сторон меньше половины периметра, и нет ни одной пары соседних синих сторон. Докажите, что в этот многоугольник нельзя вписать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Положительные числа  a₁,..., a_n таковы, что  2a_i < a₁ + ... + a_n при всех  i = 1,..., n. Докажите, что существует вписанный n-угольник, длины сторон которого равны  a₁,..., a_n.

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Прислать комментарий

Решение

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < ^π/₃ < ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 73]