Каталог по темам

Задачи

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 496]

Задача 115402

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки A₁ и C₁ соответственно. Отрезки AC₁ и CA₁ пересекаются в точке P . Описанные окружности треугольников AA₁P и CC₁P вторично пересекаются в точке Q , лежащей внутри треугольника ACD . Докажите, что PDA= QBA .

Прислать комментарий Решение

Задача 55464

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
Темы:	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Пусть A₁A₂...A_n – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A₁A_n окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64354

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Пастор А.

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64977

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66267

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ω_Q и ω_P треугольников ACQ и BDP.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 496]