Каталог по темам

Задачи

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 372]

Задача 116872

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дана равнобокая трапеция ABCD (AD || BC). На дуге AD (не содержащей точек B и C) описанной окружности этой трапеции произвольно выбрана точка M. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из вершин A и D на отрезки BM и CM, лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55460

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Основание каждой высоты треугольника проектируется на стороны треугольника. Докажите, что шесть полученных точек лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64465

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64637

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Трехгранные и многогранные углы (прочее)	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64764

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шмаров В.

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором AB > BC. Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что ∠CKM = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 372]