Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть представление числа n в двоичной системе выглядит следующим образом:   n = 2^e₁ + 2^e₂ +...+ 2^e_r   (e₁ > e₂ > ... > e_r ≥ 0).
Докажите, что n! делится на 2^n–r, но не делится на 2^n–r+1.

   Решение

---

Монету в 1 копейку обкатывают вокруг такой же монеты.
а) Сколько она сделает полных оборотов вокруг своей оси?
б) А если её будут обкатывать вокруг монеты в полдоллара?
(Напомним, что диаметр копейки - 15 мм, диаметр монеты в полдоллара - 30 мм.)

   Решение

---

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 120]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60464

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Произведения и факториалы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Докажите, что существуют 1000 подряд идущих составных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64709

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Произведения и факториалы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65069

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Произведения и факториалы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111856

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Для натурального  n > 3  будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение  n? = 2n + 16.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66896

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 120]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями