В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
  а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁;  A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁;  B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

   Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 694]      

Точка D – середина бокового ребра CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 . Прямые AB1 , BC и DA1 попарно перпендикулярны. Найдите высоту призмы, если AB = BC= AB1 =a .

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

Прислать комментарий

Решение

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Прислать комментарий

Решение

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
  а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁;  A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁;  B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 694]