Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 67]

Задача 66921

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Филипповский Г.Б.

Постройте треугольник $ABC$ по вершине $A$, центру описанной окружности $O$ и прямой Эйлера, если известно, что прямая Эйлера отсекает на сторонах $AB$ и $AC$ равные отрезки от вершины $A$.

Прислать комментарий Решение

Задача 115859

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Формула Эйлера	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Акопян А.В.

Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC равны R и r; O, I – центры этих окружностей. Внешняя биссектриса угла C пересекает прямую AB в точке P. Точка Q – проекция точки P на прямую OI. Найдите расстояние OQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65810

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что M_AH_B = M_AH_C, M_BH_A = M_BH_C, M_CH_A = M_CH_B. Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67319

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Центр масс	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ – точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 115860

Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Pohoata C.

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 67]