Версия для печати
Убрать все задачи

---

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

   Решение

Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1547]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78079

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78486

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы отрезок системы, равный и параллельный этому звену.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78535

Темы:   [ Симметричная стратегия ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На квадратном поле размерами 99×99, разграфленном на клетки размерами 1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго игрока первый всегда может выиграть.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98072

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98504

Темы:   [ Векторы помогают решить задачу ] [ Подобные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B₁ и A₁, что  BB₁ = AA₁ = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C₂ и B₂, что  CC₂ = BB₂ = a.  Найти  A₁B₁ : C₂B₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1547]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями