Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  a_n ≤ n¹⁰  при любом n?

б) Тот же вопрос, если  a_n ≤ n  при любом n.

   Решение

Страница: << 210 211 212 213 214 215 216 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110750

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников кликой, если все они дружат между собой. Их число называется размером клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111801

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Раскраски ] [ Подсчет двумя способами ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116840

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Обратный ход ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78166

Темы:   [ Сочетания и размещения ] [ Принцип крайнего ] [ Подсчет двумя способами ] [ Теория множеств (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79370

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

а) Существует ли последовательность натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и  a_n ≤ n¹⁰  при любом n?

б) Тот же вопрос, если  a_n ≤ n  при любом n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 210 211 212 213 214 215 216 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями