Страница:
<< 213 214 215 216
217 218 219 >> [Всего задач: 1221]
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
На бесконечном клетчатом листе белой бумаги
n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени
t = 1, 2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка
k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки
k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то
k становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).
а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.
б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.
|
|
|
Сложность: 9
Классы: 9,10,11
|
а) На плоскости даны
n векторов, длина каждого из которых
равна 1. Сумма всех
n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех
k = 1, 2, ...,
n выполнялось следующее условие: длина суммы первых
k векторов не
превышает 3.
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.
в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8
|
У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом
вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной
прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек,
имела ось симметрии?
Страница:
<< 213 214 215 216
217 218 219 >> [Всего задач: 1221]
Фильтр
