Страница:
<< 120 121 122 123
124 125 126 >> [Всего задач: 1547]
64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме
квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма
чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные
симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в
каждом столбце меньше 1035.
Дана система из 25 различных отрезков с общим началом в данной точке A и с концами на прямой l, не проходящей через эту точку. Доказать, что не
существует замкнутой 25-звенной ломаной, для каждого звена которой нашёлся бы
отрезок системы, равный и параллельный этому звену.
На квадратном поле размерами
99×99, разграфленном на клетки размерами
1×1, играют двое. Первый игрок ставит крестик на центр поля; вслед за
этим второй игрок может поставить нолик на любую из восьми клеток, окружающих
крестик первого игрока. После этого первый ставит крестиктна любое из полей рядом с уже занятыми и т.д. Первый игрок выигрывает, если ему удастся
поставить крестик на любую угловую клетку. Доказать, что при любой игре второго
игрока первый всегда может выиграть.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость
разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c (AB = c, BC = a, CA = b и a < b < c). На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B1 и A1, что BB1 = AA1 = c. На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C2 и B2, что CC2 = BB2 = a. Найти A1B1 : C2B2.
Страница:
<< 120 121 122 123
124 125 126 >> [Всего задач: 1547]
Фильтр
Решение 
