Страница:
<< 62 63 64 65
66 67 68 >> [Всего задач: 366]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству
x² – mxy + y² = 1 (1) тогда и только тогда, когда x и y – соседние члены последовательности (2): a0 = 0, a1 = 1, a2 = m, a3 = m² – 1, a4 = m³ – 2m, a5 = m4 – 3m² + 1, ..., в которой ak+1 = mak – ak–1 для любого k 0. Докажите это.
Один мальчик 16 февраля 2003 года сказал: "Разность между числами
прожитых мною (полных) месяцев и прожитых (полных) лет сегодня впервые стала равна
111". Когда он родился?
Сколько решений имеет уравнение x1 + x2 + x3 = 1000
а) в натуральных; б) в целых неотрицательных числах?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что
а) длина одного из катетов кратна 3,
б) длина одной из трёх сторон делится на 5.
Страница:
<< 62 63 64 65
66 67 68 >> [Всего задач: 366]
Фильтр
