Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 501]      

На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$, $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$.
Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.

 

Прислать комментарий

Решение

В ромбе ABCD высоты BP и BQ пересекают диагональ AC в точках M и N (точка M лежит между A и N),  AM = p,  MN = q.  Найдите PQ.

Прислать комментарий

Решение

Высоты LA и LB ромба KLMN пересекают его диагональ KM в точках P и Q (точка P лежит между K и Q),  PQ = p,  AB = q. Найдите KP.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольнике ABCD на сторонах AB и AD выбраны соответственно точки E и F так, что  AE : EB = 3 : 1,  AF : FD = 1 : 2.
Найдите отношение  EO : OD,  где O – точка пересечения отрезков DE и CF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 501]