Страница:
<< 239 240 241 242
243 244 245 >> [Всего задач: 1221]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых
клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)
Дан правильный треугольник
ABC . Через вершину
B
проводится произвольная прямая
l , а через точки
A
и
C проводятся прямые, перпендикулярные прямой
l ,
пересекающие её в точках
D и
E . Затем, если точки
D и
E различны, строятся правильные треугольники
DEP и
DET , лежащие по разные стороны от прямой
l .
Найдите геометрическое место точек
P и
T .
Страница:
<< 239 240 241 242
243 244 245 >> [Всего задач: 1221]
Фильтр
