Страница:
<< 239 240 241 242 243
244 245 >> [Всего задач: 1221]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:
А) приписать на конце цифру 4;
Б) приписать на конце цифру 0;
В) разделить на 2 (если число чётно).
Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.
а) Из числа 4 получите число 1972.
б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что существует такое натуральное число
n , что если правильный треугольник со стороной
n разбить прямыми, параллельными его сторонам, на
n2 правильных треугольников со стороной 1,
то среди вершин этих треугольников можно выбрать
1993
n точек, никакие три из которых не являются
вершинами правильного треугольника (не обязательно со сторонами, параллельными сторонам исходного
треугольника).
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон
длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 10,11
|
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.
(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)
б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.
в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.
г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
Страница:
<< 239 240 241 242 243
244 245 >> [Всего задач: 1221]
Фильтр
