Страница:
<< 29 30 31 32
33 34 35 >> [Всего задач: 202]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
На
n карточках написаны с разных сторон числа — на 1-й: 0 и 1;
на 2-й: 1 и 2; ...; на
n-й:
n - 1 и
n.
Один человек берёт из стопки несколько карточек и показывает второму одну
сторону каждой из них. Затем берёт из стопки еще одну карточку и тоже
показывает одну сторону.
Указать все случаи, в которых второй может определить число, написанное на
обороте последней показанной ему карточки.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дана четвёрка ненулевых чисел
a,
b,
c,
d. Из неё получается новая
ab,
bc,
cd,
da по
следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на
первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д.
Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится
вновь четверка
a,
b,
c,
d, кроме случая, когда
a =
b =
c =
d = 1.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?
б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?
в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.
Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9
|
Обозначим
S(
x)
сумму цифр числа
x . Найдутся ли три таких натуральных числа
a ,
b и
c , что
S(
a+b)
<5
,
S(
a+c)
<5
и
S(
b+c)
<5
,
но
S(
a+b+c)
>50
?
Страница:
<< 29 30 31 32
33 34 35 >> [Всего задач: 202]
Фильтр
