Краткий справочник математических терминов

В этом кратком справочнике поясняются понятия и теоремы, упоминаемые в книгах и задачах, опубликованных на нашем сайте. Справочник ни в кой мере претендует на полноту — это лишь необходимый комментарий к нашим задачам. Справочник формируется в соответствии с запросами наших читателей. Если Вас интересует, что означает данный термин, или что утверждает данная теорема, заполните форму, и мы ответим на Ваш вопрос.

Знаком "*" помечены факты, относящиеся к данному понятию, знаком "-" помечены варианты формулировки определений.

А Б В Г Д З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Э

Статьи на букву 'Н':

Наклонная
Пусть BA — перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a, C — любая точка прямой a, отличная от A. Отрезок BC называется наклонной, проведённой из точки B к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок AC называется (ортогональной) проекцией наклонной.
* Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные (ортогональные) проекции, из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Неравенство
- Йиффа
  Неравенство Йиффа утверждает, что для угла Брокара $\varphi$ данного треугольника выполнено неравенство 8 $\varphi^{3}_{}$ $\le$ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ , где $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ — углы искомого треугольника.
  (См. задачу 56975.)
- Коши (о среднем арифметическом и среднем геометрическом)
  Для любых неотрицательных чисел x₁, x₂,..., x_n верно неравенство:
  
  $\displaystyle {\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}}$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$ ,
  причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x₁ = x₂ = ... = x_n. Выражение ${\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}}$ называется средним арифметическим, а $\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$ — средним геометрическим чисел x₁, x₂,..., x_n. Неравенство Коши и его частный случай при n = 2 ( ${\frac{a+b}{2}}$ $\geqslant$ $\sqrt{ab}$ при a, b $\geqslant$ 0) очень полезны и часто используются при решении задач и для доказательства других неравенств.
  (См. задачу 60310.)
- Пидо
  Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Тогда
  
  a²(- a'² + b'² + c'²) + b²(a'² - b'² + c'²) + c²(a'² + b'² - c'²) $\displaystyle \ge$ 16SS',
  причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны.
  (См. задачу 57466.)
- Птолемея
  Для любых точек A, B, C, D плоскости выполнено неравенство
  
  AC^.BD $\displaystyle \leq$ AB^.CD + BC^.AD,
  причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник.
  Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то
  
  $\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A... ... +A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6, \end{multline*}$
  
  причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.
  (См. задачу 58396.)
- треугольника
  Неравенство треугольника утверждает, что для любых трех точек A, B, C плоскости (пространства) верно, что | AB| + | BC| | AC|, где через | XY| обозначено расстояние между точками X и Y.
  * Неравенство треугольника обращается в равенство тогда и только тогда, когда точки A, B и C лежат на одной прямой, причем B лежит между A и C.
  * Если $\overrightarrow{x}$ , $\overrightarrow{y}$ — два вектора (два элемента нормированного пространства), то неравенство треугольника примет вид | $\overrightarrow{x}$ | + | $\overrightarrow{y}$ | $\geq$ | $\overrightarrow{x+y}$ |, где через | $\overrightarrow{z}$ | обозначена длина (норма) вектора $\overrightarrow{z}$ . Неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{x}$ и $\overrightarrow{y}$ сонаправлены.
  - обобщённое неравенство треугольника:
    Длина ломаной (на плоскости или в пространстве) не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
- Эрдёша-Морделла
  Пусть точка O лежит внутри треугольника ABC. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через R_a, R_b, R_c. Тогда
  
  R_a + R_b + R_c $\displaystyle \geq$ 2(d_a + d_b + d_c).
  
  (См. задачу 56810.)

От кого (e-mail):
Что Вас интересует: