В этом кратком справочнике поясняются понятия и теоремы, упоминаемые в книгах и задачах, опубликованных на нашем сайте. Справочник ни в кой мере претендует на полноту — это лишь необходимый комментарий к нашим задачам. Справочник формируется в соответствии с запросами наших читателей. Если Вас интересует, что означает данный термин, или что утверждает данная теорема, заполните форму, и мы ответим на Ваш вопрос.

Запрос

От кого (e-mail):
Что Вас интересует:

Знаком "*" помечены факты, относящиеся к данному понятию, знаком "-" помечены варианты формулировки определений.

А  Б  В  Г  Д  З  И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Э  

Статьи на букву 'Э':

• Эксцентриситет
  
  • гиперболы
    см. "гипербола".
  • эллипса
    см. "эллипс".

• Эллипс
  Есть несколько эквивалентных определений эллипса:

  
  —  Эллипсом называется множество точек плоскости, которое в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением + = 1. Данное уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а число e = при ab называют эксцентриситетом. Прямые x = ±a/e называют директрисами эллипса. (У эллипса, не являющегося окружностью, есть ровно две директрисы.)

  
  —  Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ есть постоянная величина.

  Точки F₁ и F₂ называют фокусами эллипса.

  *  Отношение расстояния от точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету e.

  Верно и обратное: если дана точка F и прямая l, не содержащая F, то множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу положительному числу e < 1, является эллипсом.

  Окружность является частным случаем эллипса (в этом случае фокусы совпадают между собой и являются центром окружности).

  *  Эллипс является коническим сечением, то есть он может быть получен как сечение конуса подходящей плоскостью.

  *  Эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что луч света, выпущенный из одного фокуса, после первого отражения обязательно пройдет через второй фокус.

  *  Площадь эллипса, заданного уравнением + = 1 (точнее, площадь внутренней части эллипса), равна π·ab.

  • Штейнера
    Для данного треугольника ABC существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом, который называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера.
    (См. задачи 58473,58476,58484.)

    *  Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник, а описанный — наименьшую среди всех описанных.
    (См. задачу 58365.)

  
  (См. задачи 58473,58476,58484.)