В этом кратком справочнике поясняются понятия и теоремы, упоминаемые в книгах и задачах, опубликованных на нашем сайте. Справочник ни в кой мере претендует на полноту — это лишь необходимый комментарий к нашим задачам. Справочник формируется в соответствии с запросами наших читателей. Если Вас интересует, что означает данный термин, или что утверждает данная теорема, заполните форму, и мы ответим на Ваш вопрос.

Запрос

От кого (e-mail):
Что Вас интересует:

Знаком "*" помечены факты, относящиеся к данному понятию, знаком "-" помечены варианты формулировки определений.

А  Б  В  Г  Д  З  И  К  Л  М  Н  О  П  Р  С  Т  У  Ф  Х  Ц  Ч  Э  

Статьи на букву 'И':

• Изогональное сопряжение
  См. "точки изогонально сопряженные".

• Изогонический центр треугольника
  Построим на сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Тогда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

  Эту точку называют первым (соответственно, вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Ферма. См. также раздел "точка Торричелли" и задачу 57799.

• Изодинамический центр треугольника
  Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Тогда три окружности S_a, S_b и S_c имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC. Данные точки M и N называются изодинамическими центрами треугольника ABC.
  (См. задачу 57144.)

• Инверсия
  • на плоскости
    Пусть на плоскости дана окружность S с центром O и радиусом R. Инверсией относительно окружности S называют преобразование, переводящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A^*, лежащую на луче OA на расстоянии OA^* = R²/OA от точки O. Инверсию относительно S будем также называть инверсией с центром O и степенью R², а окружность S — окружностью инверсии.

    *  Непосредственно из определения инверсии видно, что точки окружности S она оставляет на месте, точки, лежащие внутри S, переводит наружу, а точки, лежащие вне S, — внутрь S. Если точка A переходит при инверсии в A^*, то точку A^* эта инверсия переводит в A, то есть (A^*)^* = A. Образом прямой, проходящей через центр инверсии, является сама эта прямая (при этом мы исключаем из рассмотрения центр инверсии).

    Однако, надо сделать оговорку, связанную с тем, что инверсия не является в строгом смысле слова преобразованием плоскости, так как точка O никуда не переходит. Поэтому формально мы не имеем права говорить об "образе прямой, проходящей через точку O", а должны рассматривать объединение двух лучей, получающихся из прямой выбрасыванием точки O. Аналогично обстоит дело и с окружностями, содержащими точку O. Часто, тем не менее, придерживаются этих нестрогих, но зато более наглядных формулировок, надеясь, что читатель легко восстановит точный смысл. С учетом этой оговорки можно сформулировать следующее утверждение:

    *  При инверсии окружности, не проходящие через центр инверсии, переходят в окружности. Окружности, проходящие через центр инверсии, переходят в прямые. Прямые, не проходящие через центр окружности, переходят в окружности.

    Если пополнить плоскость "бесконечно удаленной точкой", то есть рассмотреть одноточечную компактификацию плоскости, то полученное пространство будет являться сферой, и инверсия будет корректно определена на всей пополненной плоскости. Если отождествить пополненную плоскость и сферу с помощью стереографической проекции, то инверсии будет соответствовать симметрия сферы относительно экваториальной плоскости.