Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 177]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65714

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие пары различных действительных чисел x и y, что  x¹⁰⁰ – y¹⁰⁰ = 2⁹⁹(x – y)  и  x²⁰⁰ – y²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(x – y).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65755

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

На доске написаны четыре попарно различных целых числа, модуль каждого из которых больше миллиона. Известно, что не существует натурального числа, большего 1, на которое бы делилось каждое из четырёх написанных чисел. Петя записал в тетрадку шесть попарных сумм этих чисел, разбил эти шесть сумм на три пары и перемножил числа в каждой паре. Могли ли все три произведения оказаться равными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105167

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Отношение порядка ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живёт по 20 борцов. Был проведён турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109742

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Вспомогательные проекции ] [ Процессы и операции ] [ Инварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109856

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Связность. Связные множества ] [ Теория игр (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Клетчатый квадрат 100×100 разрезан на доминошки. Двое играют в игру. Каждым ходом игрок склеивает две соседних по стороне клетки, между которыми был проведён разрез. Игрок проигрывает, если после его хода фигура получилась связной, то есть весь квадрат можно поднять со стола, держа его за одну клетку. Кто выиграет при правильной игре – начинающий или его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 177]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями