Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]

Задача 109754 (#02.5.11.3)

Темы:	[	Показательные функции и логарифмы	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

Прислать комментарий

Решение

Задача 109755 (#02.5.11.4)

Темы:	[	Ориентированные графы	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Пастор А.

В городе несколько площадей. Некоторые пары площадей соединены улицами с односторонним движением так, что с каждой площади можно выехать ровно по двум улицам. Докажите, что город можно разделить на 1014 районов так, чтобы улицами соединялись только площади из разных районов, и для каждых двух районов все соединяющие их улицы были направлены одинаково (либо все из первого района во второй, либо наоборот).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109756 (#02.5.11.5)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 3 и 9	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Токарев С.И.

Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108139 (#02.5.11.6)

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

Прислать комментарий Решение

Задача 109765 (#02.5.11.7)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]