Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 64]
Задача
111842
(#07.5.9.1)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x)) = 0 не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) = 0 тоже не имеет вещественных корней.
Задача
111843
(#07.5.9.2)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу.
Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.
Задача
111844
(#07.5.9.3)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике (n > 1). Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?
Задача
111845
(#07.5.9.4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1.
Перпендикуляр, опущенный из точки B1 на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K.
Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.
Задача
111846
(#07.5.9.5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так,
чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.
Страница:
<< 6 7 8 9
10 11 12 >> [Всего задач: 64]
Фильтр
